GeoGebran CAS

Käsittelin blogikirjoituksessani viime lokakuussa symbolisia laskimia ja tietokoneohjelmia kouluopetuksen ja ylioppilaskokeen näkökulmasta. Esimerkkinä olivat pitkän matematiikan ylioppilastehtävät keväällä 2011.

Yhtenä mielenkiintoisena työvälineenä on kouluissakin huomiota saanut alunperin dynaamiseen geometriaan keskittynyt ohjelma GeoGebra, jonka tulossa olevaan versioon 4.2 on luvassa myös symbolisen laskennan osio (CAS = Computer Algebra System). Lokakuussa tästä oli saatavilla ainoastaan betaversio, kuten on edelleenkin. (Ks. GeoGebran tulevaisuutta ja menneisyyttä käsittelevää sivua.)

Kehitystä on tapahtunut eikä nykyinen betaversio ole lainkaan sama kuin lokakuun betaversio. Päätinkin katsoa Tampereella 13.1.2012 pidettyä GeoGebra-kokousta varten, miten ylioppilastehtävien ratkaiseminen sujuu nykyisellä betaversiolla. Lokakuussa ei vielä ollut syntynyt julkaisemisen arvoista tuotosta, mutta nyt päästiin jo pidemmälle. Tein samalla verkkosivun, jolla on linkit GeoGebra-ratkaisujen lisäksi aiempiin muilla välineillä tehtyihin ratkaisuihin: http://matta.hut.fi/matta3/SymbLask/.

GeoGebra on toki kehittynyt, mutta matkaa on vielä kuljettavaksi. Hanke on kunnianhimoinen ja sen onnistuessa tuloksena voisi olla erittäin hyvä matematiikkaohjelma ainakin lukio- ja ammattikorkeakoulutason käyttöön eikä yliopistotason käyttökään ole mahdoton ajatus. Toisaalta hankkeen eteneminen osoittaa ne ongelmat, mitä hyvän symbolisen ohjelman kehittämisessä ja eriluonteisten toimintojen saumattomassa yhteen liittämisessä on.

Suurimpina ongelmakohtina pidän seuraavia:

• Sekä dynaamisen geometrian että symbolisen laskennan osiossa työskentely tapahtuu kolmentyyppisten interaktioiden avulla: klikkaamalla hiirellä dokumentin objekteja (geometrisia objekteja tai lausekkeita); painikkeiden avulla (kummassakin on omat painikkeensa); kirjoittamalla komentoja erilliselle syöteriville tai suoraan laskentadokumenttiin. Komennoista osa on yhteisiä kummallekin osiolle, mutta syntaksit voivat olla erilaisia. Sama toiminto saattaa esiintyä sekä painikkeissa että komennoissa, mutta toiminta ei ole täsmälleen sama. Seurauksena on hieman vaikeasti hahmotettava käyttöliittymä. Tämä on vakava haitta koulukäytössä.

• Interaktioiden tuloksena syntyy toisaalta geometrisia objekteja, toisaalta algebrallisia muuttujia, jotka jollakin tavoin talletetaan ohjelman muistiin. Ei kuitenkaan ole selvää, mitkä näistä näkyvät missäkin osiossa. Geometriapuolella vältetään saman nimen käyttö usealle objektille vaihtamalla tarvittaessa nimi automaattisesti. Seurauksena saattaa kuitenkin olla, että symbolisen puolen vapaa symboli saa numeerisen arvon. Selkeä muistinhallinta olisi ensiarvoisen tärkeää.

• GeoGebrassa on kolmaskin osio, laskentataulukko jossain määrin Excelin tapaan. Tämän kytkennät kahteen muuhun osioon eivät ole minulle täysin valjenneet. Sen ilmeisesti on tarkoitus olla sekä numeerinen että symbolinen, ja monia hyödyllisiä toimintoja olenkin onnistunut käyttämään. Eri osioiden yhteen kytkeminen kuitenkin lisää haasteita ohjelman kehittämisessä aika paljon. Versiossa 5.0 on luvassa vielä 3D-geometriakin!

• Symbolisessa laskennassa tulisi voida käyttää laskun edellisten vaiheiden tuloksia seuraavien syötteinä. Tässä suhteessa GeoGebra on kehittynyt paljon. Syötteeksi ottaminen voi periaatteessa tapahtua kahdella tavalla: joko leikkaamalla ja liimaamalla tai muutoin hiirellä operoimalla, tai sitten antamalla tulokselle nimi ja käyttämällä tätä syötteessä. Molemmat tavat useimmiten toimivat, mutta työskentely saattaa olla kömpelöä.

• GeoGebra on monikielinen, ts. otsikoinnit, komennot, selitykset ja ohjeet voidaan muusta ohjelmasta riippumatta kääntää eri kielille ja käyttäjä voi valita haluamansa. Ajatus on hyvä, mutta vaativa. Ohjelma on jo nyt laajentunut niin paljon, että sen terminologialle ei aina ole edes olemassa vakiintuneita vastineita ainakaan suomeksi. Asiantuntija voi käyttää englantia, mutta käännetyssä versiossa englannin kieliset termit näyttävät rumilta.

Symbolinen laskenta saattaa olla myös käyttäjälle vaativaa. Jos GeoGebralle määritellään funktiot f(x):=sin(x) ja g(x):=Derivative[f(x),x], niin g(t) tuottaa aivan oikean tuloksen cos(t), mutta g(2) virheilmoituksen: Sorry, something went wrong. Tämä on niin kuin pitääkin, mutta saattaa silti ihmetyttää käyttäjää. Lukija miettiköön selitystä ja mahdollista syötteen korjausta.

Edellä olevan kaltaiset ongelmat tulevat vastaan oikeastaan vain, jos symbolista ohjelmaa käytetään yksinkertaisena ohjelmointiympäristönä. Toivottava tällainen mahdollisuus voisi olla, mutta en tiedä, onko se tavoitteena GeoGebran kehittämisessä, vaikka joitakin tähän suuntaan viittaavia piirteitä siinä onkin.

Toinen toivottava asia olisi mahdollisuus kirjoittaa symbolisen laskennan lomaan selittäviä tekstejä, jolloin ohjelman sisällä olisi mahdollista luoda dokumentti tehdystä työstä. En tiedä, onko tämä tavoitteena.

Matemaattiset ohjelmat

Niin GeoGebrassa kuin muissakin matemaattisissa ohjelmissa pitää osata tietty määrä ohjelmariippuvaista "ohjelmointia". Tämä on totta niin kaupallisissa kuin avoimissa ohjelmistoissa, esim. Matlabissa, Octavessa, joita olen käyttänyt.

Mielenkiinnosta latasin Wolframin Mathematica 8 koekäyttöön, nähdäkseni miltä se näyttää tänään. Toisin kuin muut, tämä perustuu kaipaamaasi Notebookin käyttöön, johon voi kirjoittaa teoriat ja muut muistiinpanot, tallentaa sekä tulostaa, ja laskea samalla.

Valitettavasti myös Mathematica edellyttää "ohjelmoinnin" opettelemista aivan kuiten laskimet, on osattava peruskäskyt esim. kuvaajien tulostukseen. Toisaalta ne oppii mielekkäillä perusharjoituksilla nopeasti.

Mielestäni oleellista matemaattisissa ohjelmistoissa on nimenomaan grafiikan hyödyntäminen. Monissa niissa voi hiirellä pyöritellä 3D kappaleita. Tätä nykyiset laskimet eivät tue, kuten eivät tue myöskään muistiinpanojen tekemistä. Näihin ohjelmistoihin saa myös otettua käsiteltäväksi datatiedostoja reaalielämästä, joita voi manipuloida ja analysoida.

Toivottavaa olisi, että tulevaisuudessa suunta olisi kohti monikäyttöistä matemaattista alustaa matematiikan, fysiikan sekä kemian opiskelun tukena, jotain Mathematican tapaista. Kuitenkin pitää muistaa, että perusteet on ymmärrettävä, jotta työelämässä tarvittaessa pystyy itsekin koodaamaan funktion laskennan.