Matemaattisia animaatioita

Sivulla mainittuihin teoksiin sovelletaan alla mainittua lisenssiä, ellei jonkin teoksen yhteydessä toisin mainita. Lähdekoodeja voi tiedustella tekijöiltä.

Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-Tarttuva 1.0 Suomi-lisenssi.

---

Mathematica-animaatioita

Tekijä: Simo K. Kivelä,    © Simo K. Kivelä

Mathematica-dokumenttien lukemiseen tarvitaan joko kaupallinen ohjelmisto Mathematica tai ilmaiseksi saatava CDF Player. Mathematican version 8 ja CDF Playerin mukana tulee selaimeen asentuva lisäosa (plugin), joka sallii toimivan dokumentin avaamisen suoraan selaimessa. (Toistaiseksi lisäosaa ei liene saatavissa Linux-koneille.)

• Planeettaliike. Hieman idealisoitu kahden planeetan liike keskeisvoimakentässä. Mahdollisuus säätää planeettojen massoja ja alkuehtoja, jolloin kahdessa erillisessä grafiikassa esitetyt radat ja liike-energiat muuttuvat vastaavasti. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 3 sivua, heinäkuu 2010.


• Värähtelyliike, jossa kierrejousesta riippuva kappale värähtelee pystysuorassa suunnassa. Mahdollisuus säätää jousen jäykkyyttä, vaimennusta ja ulkoista jaksollista voimaa. Kolme graafista esitystä: kappaleen poikkeama ajan funktiona, systeemin kokonaisenergia ja värähtelyliikkeen animaatio. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 7 sivua, heinäkuu 2010.


• Trigonometristen funktioiden määrittely. Sinin, tangenti ja kosekantin määrittely geometrisella konstruktiolla. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 2 sivua, tammikuu 2010.


• Algebran peruslause. Origokeskisen ympyrän kuvautumiseen perustuvan todistuksen idea. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 3 sivua, elokuu 2009.


• Algebran peruslause. Polynomin reaali- ja imaginaariosien nollakohtakäyrät ja todistuksen perustaminen näihin. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 3 sivua, heinäkuu 2009.


• Newtonin iteraation kaoottisuus. Kompleksitasossa Newtonin iteraatio suppenee melkein mistä tahansa pisteestä aloitettaessa, mutta rajapiste ja tarkentuvat approksimaatiot käyttäytyvät kaoottisesti. Mathematica-animaatio (manipulaatio) kaoottisuuden tutkimiseen, myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 3 sivua, elokuu 2009.


• Eksponenttifunktio ja logaritmifunktio, funktio ja sen käänteisfunktio kantaluvun muuttuessa. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 1 sivu, elokuu 2009.


• Neliulotteinen kuutio projisioituna kolmiulotteiseen avaruuteen ja tästä kaksiulotteiseen tasoon (kuvaruudulle). Katselusuuntaa neliulotteisessa avaruudessa, ts. projisiointisuuntaa voidaan muuttaa säätimillä. Mathematica-animaatio (manipulaatio), myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 2 sivua, heinäkuu 2009.


• Kompleksiluvun juuret. Kompleksiluvun $z$ juurella $\sqrt[n]{z}$ on $n$ eri suurta arvoa, kun $z \neq 0$. Näiden sijaintia voidaan tutkia Mathematica-animaatiolla (manipulaatiolla), jossa lukua $z$ voidaan siirtää hiirellä. Myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 2 sivua, heinäkuu 2009.


• Jatkuvuus. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion jatkuvuus εδ-pelinä Mathematica-animaation (manipulaation) keinoin. Hiirellä valitaan ε ja δ; liikennevalo muuttuu punaisesta vihreäksi, kun on löydetty epsiloniin sopiva delta. Muutama valmiiksi määritelty funktio, jotkut epäjatkuvia. Myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 3 sivua, helmikuu 2009.


• Derivaatta. Derivaatan määrittely erotusosamäärän raja-arvona. Mathematica-animaatiossa (manipulaatiossa) voidaan muuttaa erotusosamäärän parametria $h$, jolloin lukuarvo ja graafinen esitys muuttuvat vastaavasti. Tarkastelupistettä voidaan vaihtaa ja funktio valita muutamista valmiiksi määritellyistä. Myös pdf-muoto (ilman toiminnallisuutta). 3 sivua, marraskuu 2007.

webMathematica-animaatioita

Tekijä: Simo K. Kivelä,    © Simo K. Kivelä

webMathematica-dokumentit käyttävät www-palvelimella toimivaa Mathematica-ohjelmistoa. Syötteet annetaan verkkosivulla ja tulokset saadaan uudelle verkkosivulle. Seuraavat animaatiot on tehty kokeilumielessä vuonna 2006. Niiden toimiminen edellyttää, että matematiikan laitoksen webMathematica-palvelin on käynnissä.

• Taylorin polynomi. Funktiota approksimoivien Taylorin polynomien kuvaajat. Funktio, kehityskeskus ja haluttujen Taylorin polynomien asteet syötetään.


• Funktiojonon suppeneminen. Jonon funktioiden kuvaajat. Jonon lauseke ja halutut indeksiarvot syötetään.


• Sarjan suppeneminen. Sarjan osasummien kuvaajat. Sarjan termien lauseke ja piirrettävien osasummien indeksit syötetään.


• Partikkelit pallon pinnalla. Partikkelien asettaminen 'tasaisesti' pallon pinnalle. Partikkelien määrä ja tasaisuuden kriteeri syötetään. Tuloksena saadaan pyöritettävä kuvio partikkelien sijoittelusta pallon pinnalle ja haluttaessa myös partikkelien koordinaatit.


• RSA-salaus. Salattava viesti ja salausavaimet syötetään.


• Vesisäiliön täyttyminen. Lieriötyyppisen säiliön säteen, täytön virtausnopeuden ja vedenpinnan korkeuden keskinäinen riippuvuus ajan funktiona. Kaksi kolmesta funktiosta syötetään, kolmas lasketaan. Tuloksena funktioiden kuvaajat ja säiliön kuva. Kaikissa tapauksissa laskenta ei onnistu.

GeoGebra-animaatioita

Tekijä: Simo K. Kivelä,    © Simo K. Kivelä

GeoGebra-dokumenttien lukemiseen tarvitaan ainoastaan selain, jossa Java-sovelmien toiminta on sallittu. GeoGebra on ilmaiseksi saatava dynaamisen geometrian ohjelmisto.

• Ruprecht von der Pfalzin probleema käsittelee sellaisen reiän työstämistä kuutioon, josta toinen samankokoinen kuutio voidaan työntää läpi. Onko mahdollista? GeoGebra-dokumentti. Huhtikuu 2011.


• Heiluritasomenetelmä on perinteisen deskriptiivisen geometrian menetelmä kahden kartion leikkauskäyrän määrittämiseen piirtämällä. GeoGebra-dokumentti. Huhtikuu 2011.


• Napoleonin lause. Konstruktio ja vihjeet todistamiseen. GeoGebra-dokumentti. Huhtikuu 2010.


• Kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun geometrinen määrittely. Vähennys- ja jakolaskun graafinen suorittaminen. GeoGebra-dokumentti. Huhtikuu 2010.


• Ympyrän piirtäminen harpilla. Ei aivan yksinkertaista, jos sädettä ei saa siirtää harpin kärkien välissä! GeoGebra-demonstraatio. Huhtikuu 2010.


• Euklidista geometriaa: janan ja pinta-alan jakosuhde. Jacques Hadamardin geometrian luentoihin sisältyvä ongelma ratkaistuna GeoGebran avulla. Huhtikuu 2010.


• Kulman jako kolmeen yhtä suureen osaan toteutettuna GeoGebralla, mutta ratkaisu ei luonnollisestikaan täytä oikeaoppisen geometrisen konstruoinnin vaatimuksia. Huhtikuu 2010.


• Hyperbolista geometriaa. Poincarén ympyrämalli, johon voidaan piirtää suoria antamalla kaksi pistettä. GeoGebra. Huhtikuu 2010.


• Jatkuvuus. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion jatkuvuus εδ-pelinä GeoGebran keinoin. Hiirellä valitaan ε ja δ; liikennevalo muuttuu punaisesta vihreäksi, kun on löydetty epsiloniin sopiva delta. Muutama valmiiksi määritelty funktio, jotkut epäjatkuvia. Toiminnallisesti sama kuin ylempänä mainittu Mathematica-animaatio. Lokakuu 2009.